رياضياتي براي فهم پيدايش جهان
«دختري از تبار ما»، اگرچه كتاب خوش‌نثري نيست و به يك ويراستاري مجدد هم نياز دارد، اما چون به ذكر افتخارات علمي و شرح زندگي مريم ميرزاخاني بسنده نكرده و كوشيده است به زباني حتي المقدور ساده، از كارهاي مهم آن «نادره نابغه» در عالم رياضيات پرده‌برداري كند، كتاب ارزشمندي است. نيمه اول كتاب البته زندگي‌نامه مريم ميرزاخاني است و تقريبا چيزي بيشتر از نوشته‌هاي مطبوعات و خبرگزاري‌ها در ايام پس از درگذشت ملكه رياضي جهان ندارد.
اهميت كتاب در نيمه دوم آن است با عنوان «مروري بر دستاوردهاي علمي مريم ميرزاخاني». كامران شهبازي، تحقيقات ميرزاخاني را به سه دوره تقسيم كرده است: « دوراني كه در ايران زندگي مي‌كرد، يعني پژوهش‌هايي كه در دبيرستان و دانشگاه صنعتي شريف انجام داده است... دوره تحصيل او در هاروارد... يعني پژوهش‌هايي كه ضمن تحصيل در مقطع دكترا انجام داده است... دوران فارغ‌التحصيلي... يعني پژوهش‌هاي او از سال ٢٠٠٤ به بعد، يعني زماني كه در مقام استاد رياضيات به تدريس در دانشگاه‌هاي امريكايي پرينستون و استنفورد مشغول به كار بوده است.»
در دوره نخست، ميرزاخاني سه مقاله معتبر در نشريات رياضي جهان منتشر كرده و با كمك دوستش، رويا بهشتي زواره، كتابي به نام «نظريه اعداد» براي آمادگي دانش‌آموزان در المپياد رياضي نوشته كه بارها تجديد چاپ شده است. اما اهميت جهاني ميرزاخاني برآمده از پژوهش‌هاي او در دوره‌هاي دوم و سوم است.
ماجرا از مرحوم اقليدس آغاز مي‌شود كه در قرن سوم پيش از ميلاد، اصول بنيادين هندسه را تشريح كرد. وي در كتاب سيزده جلدي‌اش، پنج اصل را به عنوان اصول موضوعه هندسه تعيين كرد. مثلا اين اصول: ١- از هر نقطه به هر نقطه ديگر مي‌توان خط راستي رسم كرد. ٢- هر پاره‌خط راست را مي‌توان بطور نامحدود امتداد داد. ٣- همه زواياي قائمه با يكديگر برابرند. يكي از اصول هندسه اقليدس، اصل توازي است كه مي‌گويد: «از هر نقطه‌اي كه خارج از يك خط مفروض باشد، يك و فقط يك خط راست مي‌توان به موازات آن خط مفروض رسم كرد. » در قرن نوزدهم رياضيدانان دريافتند كه مي‌توانند از اين اصل عبور كنند و هندسه‌هاي ديگري به وجود آورند كه به «هندسه‌هاي غيراقليدسي» مشهور شدند. ابتدا لوباچفسكي اين اصل را به جاي اصل توازي پيشنهاد كرد:
«از هر نقطه‌اي كه خارج از يك خط مفروض باشد، مي‌توان حداقل دو خط موازي و در همان صفحه خط مفروض رسم كرد. » اين اصل سنگ بناي هندسه هذلولوي شد. سپس جورج ريمان با اين اصل هندسه بيضوي را پايه‌گذاري كرد: «از هر نقطه خارج از يك خط، نمي‌توان هيچ خطي موازي با خط اول رسم كرد. » اندازه انحنا در هندسه اقليدسي صفر، در هندسه لوباچفسكي منفي و در هندسه ريماني مثبت است. مجموع زواياي داخلي مثلث نيز فقط در هندسه اقليدسي ١٨٠ درجه است؛ در هندسه لوباچفسكي كمتر از ١٨٠ درجه و در هندسه ريماني بيشتر از ١٨٠ درجه است. بنابراين هندسه‌هاي هذلولوي و بيضوي (ريماني) مربوط به سطوحي هستند كه داراي انحنا (مثبت يا منفي) باشند. در اين هندسه‌ها، به علت همين انحناي اساسي، چيزي به نام «خط راست» وجود ندارد. به جاي خط راست، خط ژئودزيك وجود دارد. يعني در سطوح منحني، كوتاه‌ترين فاصله ميان دو نقطه را «خم ژئودزيك» مي‌نامند. خم‌ها يا خطوط ژئودزيك به دو نوع ساده (كه با خود تداخلي ندارند) و بسته (كه خودشان را قطع مي‌كنند) تقسيم مي‌شوند. يكي از تخصص‌هاي ميرزاخاني، هندسه‌هاي غيراقليدسي بود. كامران شهبازي مي‌گويد: «از زماني كه سطوح منحني و كاربرد آنها در فيزيك كشف شده است، اين سطوح مطالعات هندسه را به تصرف خود درآورده‌اند.»
در دوران تحصيل ميرزاخاني در هاروارد، چندين مساله مهم مرتبط با اين سطوح انحنادار هنوز حل نشده بود. وي در رساله دكترايش سه مساله مهم هندسه غيراقليدسي را حل كرد. ابتدا فرمولي ارايه كرد براي تعيين تعداد خم‌هاي ژئودزيك ساده و بسته در سطوح ريماني‌اي كه عدد گوناي آنها بالاست. عدد گونا تعداد حفره‌هاي يك سطح ريماني را نشان مي‌دهد. مثلا عدد گوناي يك كره صفر، عدد گوناي يك چنبره ١ و عدد گوناي دو چنبره چسبيده به هم (چيزي شبيه علامت بي‌نهايت در رياضي) ٢ است. سطوح ريماني با عدد گوناي بالاي ١ را «سطوح هذلولوي» مي‌نامند. محاسبات مربوط به تعيين تعداد خم‌هاي ژئودزيك ساده و بسته در سطوح هذلولوي داراي عدد گوناي بالا، به علت انحنا داشتن اين سطوح، چنان دشوار است كه رياضيدانان در يكصد سال گذشته، نتوانسته بودند يك سطح هذلولوي داراي چند خم ژئودزيك بسته است. ميرزاخاني در رساله دكتراي خود به اين مساله پاسخ داد. علاوه بر اين به «دو مساله دشوار ديگر كه امان رياضيدانان را بريده بود، پاسخ داد. » يكي از آن دو مساله، مربوط مي‌شد به حجم تمام سطوح هذلولوي روي يك سطح معين يا حجم فضاهاي پيمانه‌اي. شهبازي توضيح مي‌دهد كه خود اين مبحث فضاهاي پيمانه‌اي يكي از دشوارترين مباحث رياضيات جديد است.
مساله ديگري كه ميرزاخاني در رساله‌اش آن را حل كرد، اثبات يكي از حدس‌هاي ادوارد ويتن – فيزيكدان مشهور – بود. تشريح جزييات اين حدس و اثبات ميرزاخاني، براي نگارنده به كلي ناممكن است ولي شهبازي مي‌نويسد: «حدس ويتن آنچنان پيچيده و بااهميت است كه در سال ١٩٩٨ براي ماكسيم كانتسيويچ، به خاطر اثبات آن، نشان فيلدز را به همراه آورده بود. البته برهان ميرزاخاني آنچنان بديع بود كه خود كانتسيويچ... اعتراف مي‌كند كه اثبات ميرزاخاني از اثبات او بسيار زيباتر است. » ميرزاخاني ضمن اثبات حدس ويتن، «توانسته بود آن را به دو مبحث مجزاي ديگر تعداد خم‌هاي ژئودزيك ساده در سطوح هذلولوي و تعيين حجم فضاهاي پيمانه‌اي)، پيوند داده و از اين رهگذر نور تازه‌اي بر تمامي آن حوزه‌ها» بيفشاند. شگفتي رياضيدانان جهان از رساله دكتري ميرزاخاني، ناشي از اين بود كه «حل جداگانه هر كدام از آن مسائل كاري است بس دشوار و بي‌اندازه مهم، اما ربط دادن اين سه با يكديگر، امري است خارق‌العاده‌تر و مهم‌تر. » به همين دليل، ميرزاخاني در سال ٢٠٠٩ جايزه بلومنتال را بابت پايان‌نامه دكترايش دريافت كرد. اين جايزه هر چهار سال يك‌بار به كسي اهدا مي‌شود كه ارزشمندترين پايان‌نامه را در حوزه رياضيات محض نوشته باشد.
ميرزاخاني در دوران تدريس در دانشگاه‌هاي پرينستون و استنفورد، مقالات مهم ديگري نوشت كه اگرچه، با احتساب مقالات قبلي وي، تعدادشان چندان زياد نبود (هفده مقاله در هفده سال: از ٢٠٠٤ تا ٢٠١٧)، اما كيفيت مقالاتش، به گونه‌اي بود كه تقريبا همه عناوين و جوايز مهم جهان رياضي را درو كرد و او را با امي نوتر، رياضيدان نابغه آلماني مقايسه مي‌كنند كه از نظر آلبرت اينشتين بزرگ‌ترين محقق زن در تاريخ رياضيات بود. يكي از شاهكارهاي پژوهشي ميرزاخاني در دوره سوم زندگي علمي‌اش (دوران تدريس در دانشگاه)، حل مساله «خط سير توپ بيليارد» بود. الكس رايت، يكي از همكاران ميرزاخاني، درباره مساله توپ بيليارد مي‌گويد: «اين مساله صد سال پيش ايجاد شد. در آن زمان عده‌اي فيزيكدان دور هم جمع شدند و در نظر داشتند كه رفتار توپ بيليارد در يك مثلث را بررسي كنند. آنها به خاطر ظاهر ساده اين مساله، فكر مي‌كردند احتمالا در يك هفته بتوانند به اين مساله پاسخ دهند، اما اكنون صد سال گذشته و ما هنوز نتوانسته‌ايم آن را حل كنيم.»
ميرزاخاني و همكارانش اين مساله را در سال ٢٠١٣ حل كردند و دانشگاه استنفورد «شاهكار» آنها را «آغازگر دوراني تازه در رياضيات» خواند. يكي از پيامدهاي اين موفقيت ميرزاخاني، گام بلندي است كه رياضيدانان مي‌توانند در «توسعه سيستم‌هاي ديناميك» بردارند. در توصيف اين كار ميرزاخاني، گفته شده است: «گويي تا قبل از آن مي‌خواستيم درخت‌هاي جنگل را با يك تبر كوچك قطع كنيم اما حالا اره برقي را اختراع كرده‌اند.» شهبازي مي‌نويسد: «دستاورد آنان {ميرزاخاني و همكارانش} همين الان هم كاربردهاي فراوان دارد. يكي از نمونه‌هاي آن فهم راستاي ديد نگهبانان امنيتي در اتاق‌هاي آينه‌اي و تودرتو است... در جهان علم رسم بر آن است كه ابتدا رياضيات از دنياهاي ناشناخته كشف حجاب كرده و سپس علوم ديگر از جمله فيزيك كاربردهاي آن را مي‌يابند.» اهميت كار ميرزاخاني، مختصرا، عبارت بود از: ١- ابداع ايده‌هاي جديد و روش‌هاي تازه در حل مسائل رياضي. ٢- ربط دادن شاخه‌هاي گوناگون رياضيات به يكديگر. وي توانست بين «حوزه‌هايي وحدت ايجاد كند كه تا پيش از وي عميقا متفاوت از يكديگر تلقي مي‌شدند.» علت اين توفيق ظاهرا اين بود كه «او بر رفيع‌ترين قله رياضيات نشسته بود و بر تمام حوزه‌هاي رياضيات مسلط بود.»
به نظر شهبازي، دليل اصلي اهميت پژوهش‌هاي ميرزاخاني از منظر فلسفه رياضي، قدرت تبيين اين پژوهش‌ها بود. تبيين در رياضيات يعني وحدت‌بخشي به مجموعه‌اي از حقايق احتمالا جداگانه تحت يك نظريه فراگير. تبيين به معناي شناسايي علل، ربطي به رياضيات ندارد؛ چراكه رياضي عرصه علل نيست. مثال كلاسيك تبيين وحدت‌بخش، نظريه گرانشي نيوتن است كه جزر و مد درياها و مكانيك سماوي را يكپارچه كرده و همزمان جزيياتي از آنها را توضيح مي‌دهد. شهبازي كار ميرزاخاني را هم از جنس كار نيوتن مي‌داند و مي‌نويسد: «كارهاي مريم ميرزاخاني با ايجاد روش جديد در حل مسائل و پيوند دادن شاخه‌هايي از جمله هندسه هذلولوي، آناليز مختلط، سيستم‌هاي ديناميكي و هندسه جبري شمارشي، در واقع تبييني براي اين شاخه‌ها به شمار مي‌آيد و اين امر به نوبه خود منجر به روشن شدن جزيياتي از اين شاخه‌ها مي‌شود.»
اما در بين همه جملات مربوط به جايگاه مريم ميرزاخاني در عالم رياضيات، اين جملات بيانيه‌اي كه دانشگاه استنفورد به مناسبت درگذشت وي منتشر كرد، از همه شگفت‌انگيزتر است: «دستاوردهاي مريم ميرزاخاني مي‌تواند براي نظريه ميدان‌هاي كوانتومي و همچنين در فهم چگونگي پيدايش جهان هستي موثر باشد.» شهبازي در تشريح اين مدعا مي‌نويسد: «اين امر به نوبه خود مي‌تواند بر نگرش‌هاي فلسفي، مخصوصا نگرش‌هاي هستي‌شناسانه از جهان تاثير بگذارد.» و نيز: «در صورتي كه جهان فيزيكي از قواعد هندسه هذلولوي تبعيت كند، دستاوردهاي مريم ميرزاخاني به تعريف شكل و حجم دقيق جهان كمك مي‌كند.» احتمالا همين پيامدهاي فلسفي و علمي احتمالي مترتب بر رياضيات ميرزاخاني، دليل عضويت وي در مجمع فيلسوفان امريكا و آكادمي ملي علوم امريكا بوده است.
روزنامه اعتماد
